Home Uvod Matematika Citati matka Zabavna matematika Matematika kao pjesma Upitnik za učenike Anketa za učenike Osmašima za kraj Prilagođeni program Logo Šala mala Linkovi Kako povrijediti dijete Za učenike Za učitelje Život i učenje Osobni podaci

 

 

Osmašima za kraj

 

 

OSNOVNOŠKOLSKA    MATEMATIKA

5. razred

/1/ Prirodni brojevi ( skup N, zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje)

/2/ Djeljivost prirodnih brojeva (višekratnici, prosti i složeni brojevi,                                                             pravila djeljivosti s brojevima 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10)

/3/ Skupovi točaka u ravnini (dužina, pravac, kružnica i krug, mjerne jedinice, trokut)

/4/ Razlomci

/5/ Decimalni brojevi

/6/ Kut (vrste, mjerenje, susjedni i vršni kutovi)

 

6. razred

/1/ Operacije s razlomcima (mješoviti broj, recipročni razlomak)

/2/ Trokut (vrste, zbroj kutova, konstrukcije, površina, sukladnost)

/3/ Cijeli brojevi (skup Z, pozitivni i negativni brojevi, apsolutna vrijednost)

/4/ Racionalni brojevi (skup Q, razlomci i decimalni brojevi, dvojni razlomci)

/5/ Linearne jednadžbe i nejednadžbe s jednom nepoznanicom    

/6/ Četverokut (kvadrat, pravokutnik, paralelogram, trapez, dijagonale)

 

7. razred

/1/ Koordinatni sustav u ravnini (brojevni pravac, apscisa – os x, ordinata – os y,

                                                             kvadranti,  uređeni par)

/2/ Proporcionalnost i obrnuta proporcionalnost (razmjerne veličine, postotak,

                                                                                              jednostavni kamatni račun)

/3/ Mnogokuti (pravilni mnogokuti, dijeljenje dužine na dijelove jednakih duljina,

                            sličnost trokuta)

/4/ Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice (metoda supstitucije,                                                                                                 metoda suprotnih koeficijenata)

/5/ Linerana funkcija (funkcija – pridruživanje, graf linearne funcije – pravac)

/6/ Kružnica i krug (kružni luk, središnji i obodni kut, Talesov poučak, opseg i površina)

 

8. razred

/1/ Kvadriranje i korjenovanje (kvadrat zbroja, kvadrat razlike, razlika kvadrata,

                                                           potencije, drugi korijen, racionaliziranje nazivnika)

/2/ Pitagorin poučak (pravokutni trokut, a2 + b2 = c2)

/3/ Realni brojevi (racionalni i iracionalni brojevi, skup R)

/4/ Preslikavanje ravnine (vektori, zbrajanje i oduzimanje vektora, translacija, osna

                                                   simetrija, centralna simetrija, rotacija)

/5/ Točke, pravci i ravnine u prostoru (međusobni položaji pravaca i ravnina,

                                                                        ortogonalna projekcija)

/6/ Geometrijska tijela (uglata: prizme i piramide; obla: valjak, stožac i kugla,

                                              plošna i prostorna dijagonala, oplošje i volumen)

 

 

Skup   prirodnih   brojeva, N

N = {1, 2, 3, 4, 5, ... }                 N0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... }

Parni brojevi   0, 2, 4, 6, 8, 10...              Neparni brojevi  1, 3, 5, 7, 9, 11...

ZBRAJANJE           2+3 = 5  prvi pribrojnik, drugi pribrojnik, zbroj (suma)

ODUZIMANJE       5-2 = 3   umanjenik, umanjitelj, razlika (diferencija)

MNOŽENJE            2•3 = 6    prvi faktor, drugi faktor, produkt (umnožak)

DIJELJENJE           6:2 = 3    djeljenik, djelitelj, količnik (kvocijent)

U izrazu u kojem je zastupljeno više računskih operacija prvo vršimo množenje i dijeljnje, a zatim zbrajanje i oduzimanje.

Izraz u kojemu se pojavljuju zagrade rješavamo tako da prvo rješavamo okruglu zagradu ( ), pa uglatu [ ] i na kraju vitičastu { }.

Djeljivost prirodnih brojeva:

/1/ broj je djeljiv s 2, ako mu je zadnja znamenka paran broj

/2/ broj je djeljiv s 3, ako mu je zbroj znamenaka djeljiv s 3

/3/ broj je djeljiv s 4 , ako mu je dvoznamenkasti završetak djeljiv s 4

/4/ broj je djeljiv s 5 , ako mu je posljednja znamenka 0 ili 5

/5/ broj je djeljiv sa 6, ako je djeljv i s 2 i s 3

/6/ broj je djeljiv s 8, ako mu je troznamenkasti završetak djeljiv s 8

/7/ broj je djeljiv s 9, ako mu je zboj znamenaka djeljiv s 9

/8/ broj je djeljiv s 10, ako mu je posljednja znamenka 0

PROST ili PRIM BROJ – broj koji je djeljiv samo s 1 i samim sobom (ima dva djelitelja)

                                              2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41...

SLOŽENI BROJ – broj koji ima tri ili više djelitelja

 

 

Skup  cijelih  brojeva, Z

Z = { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3... }   negativni brojevi, 0, pozitivni brojevi

Apsolutna vrijednost – udaljenost nekog broja od 0

Zbrajanje i oduzimanje: (1) jednaki predznaci: predznak prepisati, brojeve zbrojiti

                                                    8 + 6 = 14           – 5 – 9 = – 14

                                           (2) različiti predznaci: predznak od ''većeg'', brojeve oduzeti

                                                     7 – 15 = – 8      – 8 + 3 = – 5        – 8 + 20 = 12

Množenje i dijeljenje: produkt i kvocijent dva cijela broja je pozitivan, ako su im

                                       predznaci isti, a negativan, ako su predznaci različiti

 

 

Skup  racionalnih  brojeva, Q

Q – skup brojeva koji se mogu napisati u obliku razomka (razlomci, konačni decimalni

       brojevi i beskonačni periodični decimalni brojevi)

Razlomak: brojnik, razlomačka crta (dijeljenje), nazivnik

Svaki razlomak možemo napisati u obliku decimalnog broja tako da brojnik podijelimo s nazivnikom.

Zbrajanje i oduzimanje razlomaka: svođenje na zajednički nazivnik

Množenje razlomaka: pomnožimo brojnik s brojnikom, nazivnik s nazivnikom (kraćenje)

Dijeljenje razlomaka: prvi razlomak pomnožimo recipročnom vrijednošću drugog 

                                    razlomka

 

Skup  realnih  brojeva, R

R = Q U I    (skup realnih brojeva čine racionalni brojevi Q i iracionalni brojevi I)

I – skup iracionalnih brojeva (beskonačni neperiodični decimalni brojevi)  π, √2, √3, √5...

 

Skupovi  točaka  u  ravnini

Točka – osnovni pojam geometrije, ne definira se, element bilo kojeg prostora

Ravnina – jedan od osnovnih pojmova geometrije, ne definira se, predočava se kao ravna

                  neomeđena ploha

Pravac – ravna neomeđena crta

Polupravac – ravna crta omeđena s jedne strane

Dužina – najkraća spojnica dviju točaka (rubne točke)

 

Kut

Kut – dio ravnine omeđen dvama polupravcima koji imaju zajedničku početnu točku

Mjerna jedinica: kutni stupanj, kutna minuta, kutna sekunda  10=60', 1'= 60 '', 10 = 3600''

šiljasti – pravi – tupi – puni – izbočeni – puni

 

Trokut

Trokut – dio ravnine omeđen trima dužinama

Podjela prema duljini stranica: jednakostranični, jednakokračni, raznostranični

Podjela prema veličini kutova: šiljastokutni, pravokutni, tupokutni

Zbroj unutarnjih kutova α + β + γ = 1800       Zbroj vanjskih kutova  α' + β' + γ' = 3600

Četiri karakteristčne točke trokuta:

*1* središte trokutu opisane kružnice – sjecište simetrala stranica trokuta

*2* središte trokutu upisane kružnice – sjecište simetrala kuta trokuta

*3* težište trokuta – sjecište težišnica (dužina kojoj je jedna krajnja točka vrh trokuta, a

                                                                  druga polovište nasuprotne stranice trokuta)

*4* ortocentar – sjecište visina (najkraća spojnica vrha trokuta i pravca koji sadrži

                                                   nasuprotnu stranicu, okomica iz vrha na suprotnu stranicu)

 

Linearne  jednadžbe  s  jednom  nepoznanicom

Linearna jednadžba – jednadžba ax + b = 0

Rješavanje linearne jednadžbe: (1) ako su u jednadžbi zagrade prvo rješavamo prema redoslijedu zagrade (okrugla, uglata pa vitičasta), (2) ako su u jednadžbi razlomci sve članove jednadžbe pomnožimo najmanjim zajedničkim nazivnikom, (3) članove jednadžbe s nepoznanicom prenosimo na lijevu stranu jednakosti, a poznate članove na desnu stranu: pri prenošenju članova s jedne strane jednakosti na drugu mijenjamo im predznak, (4) izračunamo članove i na lijevoj i na desnoj strani, (5) jednadžbu podijelimo koeficijentom uz nepoznanicu, (6) na kraju načinimo provjeru.

         Linerna nejednadžba – lijeva i desna strana nejednadžbe povezane su znakom nejednakosti (<, >, Ł, ł)

         Rješavanje linearne nejednadžbe - sve jednako kao kod jednadžbe, s jednim dodatkom: ako nejednadžbu dijelimo ili množimo s negativnim brojem tada se znak > mijenja u znak >, a znak > u znak <.

 

 

Četverokut

Četverokut – dio ravnine omeđen s četiri dužine

paralelogram – pravokutnik – kvadrat – romb – trapez – deltoid

 

Koordinatni  sustav  u  ravnini

Brojevni pravac: ishodište 0, jedinična točka 1 (desno od ishodišta su pozitivni brojevi,

                                                                                 lijevo od ishodišta su negativni brojevi)

Koordinatni sustav u ravnini: ishodište, koordinatne osi (apscisa ili os x, ordinata ili os y),                                                  kvadranti, uređeni par (x,y)

 

Sustav  dviju  linearnih  jednadžbi  s  dvije  nepoznanice

Metoda supstitucije (zamjene)

Metoda suprotnih koeficijenata

 

Linearna  funkcija

Funkcija (priduživanje, preslikavanje) – jedan od najvažnijih matematičkih pojmova, zadana je skupom s kojega djeluje (domena), skupom u kojem prima vrijednosti (kodomena) i pravilom po kojemu djeluju

Lineana funkcija f(x) = ax + b . Graf linearne funkcije je pravac.

 

Pitagorin  poučak

Primjenjuje se za pravokutni trokut (najdulja stranica je hipotenuza, kraće su katete).

Pitagorin poučak: zbroj kvadrata duljina kateta jednak je kvadratu duljine hipotenuze.

a2 + b2 = c2

 

Preslikavanje  ravnine

Vektor – usmjerena dužina (smjer, orijentacija, duljina), zbrajanje i oduzimanje vektora

translacija (pomak) * osna simetrija (zrcaljenje) * centralna simetrija * rotacija (vrtnja)

 

Geometrijska  tijela

Geometrijska tijela – omeđeni dijelovi prostora

Podjela: uglata (poliedri, prizme i piramide)

               obla (valjak, stožac, kugla)

* baza (osnovica) * pobočje (plašt) * plošna dijagonala * prostorna dijagonala *

Oplošje geometrijskog tijela je zbroj površina svih njegovih strana.

Volumen (obujam) geometrijskog tijela je veličina prostora što ga to tijelo zauzima, broj

                                mjernih kubičnih jedinica koje to tijelo sadrži.

 

α  β  g  π  Î  Ď  ^  ||  ş  »  @  Ą  Ł  ±  ą  %  J

PRIRODNI  BROJEVI

 

1. (13 + 5) · 8 =   2. (2 + 17 · 5) · (8 – 2 · 3) =   3. 2[7 + 4 · (13 · 6 – 18 :2 )] =

4. (41 – 3 · 7) · [ 6 (184 – 32 · 2) – 2 (501 – 17 · 23)] =

5. 3 + 2 { 3 [ 8 ( 19 · 21 – 36 · 11) – 23 ] } =

6. 14 + 9 { 23 [ 15 ( 14 · 19 – 16 · 13) + 24 ] – 129 · 118 } =

7. Rastavi na proste faktore: (a) 48, (b) 66, (c) 1422, (d) 1985, (e) 9 800.

8. Koji od navedenih brojeva su djeljivi s 9: 63, 79, 99, 109, 207, 12348, 19998 ?

9. Koji od navedenih brojeva su djeljivi s 3: 135, 222, 589, 3232, 111 111 ?

10. Napiši tri šesteroznamenkasta broja koji su djeljivi sa 6.

11. Zbroj dvaju prostih brojeva iznosi 36. Koji su to brojevi ? (postoji 4 rješenja)

12. Branko piše pismo jednom prijatelju svakih 12 dana, drugom svakih 15 dana, a trećem svakih 20 dana. Ako je danas poslao sva tri pisma, za koliko će dana istodobno opet poslati sva tri pisma zajedno ?

 

CIJELI  BROJEVI

 

1. – 15 + 27 – 3 – 11 + 2 =  

2. 7 – 9 + 6 – 3 – 1  =  

3. – 9 – (– 12)  + (– 8) – 34 =

4. – 2 · ( - 5) – 3 – ( + 4) · (- 2) =   

5. 54 – 48 : 6 + 6 · 9 – 3 · (- 8) · (- 2) =

6. Napiši apsolutne vrijednosti brojeva: (a) 4, (b) – 9, (c) 9831, (d) – 128, (e) 0, (f) 843.

7. Izračunaj: (a) – 7 – 2 =   (b) – 125 + 386 =   (c) – 7 + 3 )    (d) – 98 – 9876 =

8. Pomnoži: (a) – 7 · ( - 6) =   (b) 9 · ( - 86) =   (c) – 98 · 89 =

9. Zbroju brojeva – 3 i 2 dodaj zbroj brojeva – 8 i – 2.

10. Za koje cijele brojeve x vrijedi – 4 Ł x < 3.

11. Od zbroja brojeva  7 i - 9 oduzmi razliku 4 i 6.

 

RACIONALNI  BROJEVI

 

Linearne jednadžbe s jednom nepoznanicom

(1) Riješi jednadžbe: /a/ 2x + 1 = 5,   /b/ 2 – 3x = - 4,   /c/ 5 – 0.2x = - 13.

(2) Riješi jednadžbe: /a/ 1 – 4x = 2x + 5,   /b/ 7y – 5 = 2x + 3,   /c/ 2 + 5z – 11 = 3z – 7 – 7z .

(3) Riješi jednadžbe: /a/ 2 (3x + 1) – 5 = x + 4,   /b/ 3x + 2(3 + 5x) – 7x = 4 – 5x,

                                    /c/ 2 [ x + 3 ( x – 7) – 5 (1 + x)] = 4 – (3x – 5)

(4.) Riješi jednadžbu   10 (2x + 3) – { 6(3x – 3) – [15(x – 6) – 12x + 72]} = 60.

 

 

 

Sustav dviju linearnih jednadžbi

 s dvije nepoznanice

(1) Metodom suspstitucije riješi sustave:

      /a/ x + 3y = - 2            /b/ - 3x + 2y = - 5                  /c/ 5x – 4y = - 7

          - 2x – y = - 1                0.5x – y = - 0.5                      - 2x – 3y = 12 

(2) Metodom suprotnih koeficijenata riješi sustave:

     /a/ 5x – 2y = - 13       /b/ 7x – 1.5 y = 16                /c/ 3x – 2y = - 2.5

          - x + 2y = 9                 4x + 3y = 13                        4x + 5y = - 11

(3) Riješi sustave:

   /a/ 6(4x – y – 3) = 5(4 – 2y) + 25x                        /b/ 10 (3x – y) + 17 – 4 (2x – y) = 5 (2x + y)

        2(2x – y + 1) + 16 = x + 2y                                    3 (5x – y) – 2 (x + y) = 51 – 7 (2x – y)

 

 

 

Koordinatni sustav u ravnini

(1) Na brojevnom pravcu predočite točke: A (-3), B (5), C(0), D ( ˝ ), E (- ľ ), F (- 8.2).

(2) Predočite u koordinatnoj ravnini točke: A(2,3), B(- 3, 4), C (3, - 2), D(- 4, - 3), E (0, - 4).

(3) Nacrtaj graf funkcije: /a/ f (x) = 2x + 3, /b/ f(x) = - 3x + 1, /c/ f(x) = - 4x – 1.

(4) Odredite jednadžbu pravca koji prolazi točkama: /a/ A (3, 2), B (9,4),

                                                                                            /b/ C(- 4, - 2), D(1, 3)

 

 

 

Četiri karakteristične točke trokuta

*1* središte trokutu opisane kružnice – sjecište simetrala stranica trokuta

*2* središte trokutu upisane kružnice – sjecište simetrala kuta trokuta

*3* težište trokuta – sjecište težišnica (dužina kojoj je jedna krajnja točka vrh trokuta, a

                                                                  druga polovište nasuprotne stranice trokuta)

*4* ortocentar – sjecište visina (najkraća spojnica vrha trokuta i pravca koji sadrži

                                                   nasuprotnu stranicu, okomica iz vrha na suprotnu stranicu)

 

 

 
|          VRH          |          POČETNA          |