M A T E M A T I K A 

Matematika – znanost o odnosima među kvantitativnim količinama i prostornim

                           oblicima (grč. mathema – nauka o veličinama)

- znanstvena disciplina nastala proučavanjem brojeva i geometrijskih odnosa

- znanost o odnosima među veličinama i prostornim formama

Obilježja: znanstvena egzaktnost, visoka apstraktnost, sadržaj hijerarhijsko –

                 logičkog redoslijeda

Matematika nastaje kao rezultat praktičnog djelovanja (Sumerani, Babilonci, Grci, Kinezi, Indijci, Arapi); Ahmesova računica, 1600 g.pr.Kr. (Egipat)

Metodika matematike – znanstvena disciplina o matematičkom odgajanju i obrazovanju

                                       na svim stupnjevima školovanja

Obilježja matematičkog odgoja i obrazovanja:

·          sustavno odgajanje i obrazovanje

·          izgrađivanje osnovnih matematičkih pojmova

·          sadržaji učenja su visoke apstrakcije (pojmovi)

·          ovisi o stupnju i kvaliteti intelektualne razvijenosti učenika

·          visoki stupanj metodičkog oblikovanja matematičkih nastavnih sadržaja (ovisnost intelektualne razvijenosti učenika i apstraktnosti sadržaja)

Predmeti proučavanja metodike matematike:

Ø       odgojna i obrazovna funkcija matematičkih sadržaja

Ø       proces matematičkog odgoja i obrazovanja (kako podučavati, zašto, uspješnost...)

Ø       uloga pojedinih faktora u nastavnom procesu (gradivo, intelektualna razvijenost, aktivnost učenika...)

Ø       odnos intelektualne razine učenika i prirode matematičkih sadržaja

Ø       nastavne metode i oblici rada

Ø       nastavna sredstva i pomagala (spoznajna uloga, način korištenja, konkretizacija apstrakcija...)

Ø       organizacija nastavnog procesa

Ø       načela matematičkog odgoja i obrazovanja

Ø       praćenje, vrednovanje i ocjenjivanje učenika

Ø       psihološko utemeljenje matematičkog odgajanja i obrazovanja

NASTAVA MATEMATIKE – nastavni predmet u kojem se odgoj i obrazovanje ostvaruju matematičkim sadržajima

Cilj i zadaci:

1.        usvajanje matematičkog znanja za razumijevanje događaja u prirodi i društvu

2.        osposobljavanje za nastavak školovanja i primjenu usvojenog znanja u životu

3.        postupno savladavanje osnovnih elelmenata matematičkog jezika, razvijanje sposobnosti izražavanja općih ideja matematičkim jezikom, razvijanje pojmovnog i apstraktnog mišljenja i logičkog zaključivanja

4.        usvajanje metoda matematičkog mišljenja koja se očituju u preciznom formuliranju pojmova i algoritamskog rješavanja problema

5.        razvijanje iskustva i potrebe za samostalni rad, odgovornost, urednost...

PSIHOLOŠKE  OSNOVE  NASTAVE  MATEMATIKE

Etape intelektualnog razvoja djeteta (Jean Piaget):

1)         stadij refleksa – dijete živi na temelju naslijeđenih sklopova, instiktivnih težnji

2)         stadij prvih motoričkih navika i prvih organiziranih osjeta te prvih diferencijalnih osjećaja – neki svjesni oblici ponašanja, namjerno promatranje

3)         stadij senzomotoričke (praktične) inteligencije – do 2. godine, dohvaćanje predmeta na temelju promatranja

(1) – (3) period koji prethodi razvoju govora i mišljenja

4)         stadij intuitivne inteligencije (2.-7. god.) -  javlja se GOVOR (riječi imau pravo značenje), omogućava djetetu da svoje akcije zamijeni riječima, a da ih stvarno ne izvrši (POČETAK LJUDSKOG MIŠLJENJA). Dijete stalno nešto tvrdi, a ništa ne dokazuje. Mišljenje je prelogičko – nedostatak logike nadoknađuje se mehanizmom intuicije (tvrđenje bez dokazivanja), za primarnu intuiciju karakteristično je da je ireverzibilna.

5)         stadij konkretnih intelektualnih operacija (7.-13. god.) – dijete postupno postaje sposobno za reverzibilno mišljenje (sposobnost ljudskog uma da u mislima djelujemo u jednom smjeru, ali i da se možemo vratiti na početak). Sposobnost korištenja reverzibilnog mišljenja – poticanje stupnja konkretno-operacionalnog mišljenja. Operacija psihološki predstavlja akciju koja je interiorizirana i reverzibilna.

6)         stadij apstatraktnih intelektualnih operacija (>12 god.) – operiranje na temelju verbalno formuliranih hipoteza (samo govorom dokazanih), nivo hipoteičko -deduktivne operacije.

Subjetivne pretpostavke za formiranje osnovnih matematičkih pojmova:

v       razlikovanje svojstva objekta od objekta

v       sposobnosti:  - apstrahiranje – otkrivanje svojstava predmeta i pojava

                            - generaliziranje – izdvajanje zajedničkih svojstava

U izgradnji pojmova najvažnije je uočavanje zajedničkih svojstava – razlikovanje bitnog i nebitnog svojstva.

v       sposobnost uočavanja invarijantnosti svojstava veličina i objekata (bit pojma je ono svojstvo koje u procesu raznih transformacija i mijenjanja ostaje nepromijenjeno)

Proces formiranja misaonih operacija:

1)       materijalno izvođenje radnje – omogućiti učeniku da percepcijom shvati osnovni

                    sadržaj radnje

2)       govorno izvođenje radnje – omogućuje ispravno shvaćanje samih riječi koji su

                                                  osnova misaonih radnji

3)       prenošenje radnji na misaono područje – interiorizacija (transformacija vanjske

                                                                        radnje u unutrašnju)

Predznanje je skup prethodno i trajno usvojenih spoznaja o matematičkim pojavama i objektima koje su uporište učenju i mišljenju. 

  -1- identičnost: svojstvo da preznanje ima neke zajedničke elemente s novim znanjem

  -2- adekvatnost: ispravnost i potpunost predznanja

METODIČKO  OBLIKOVANJE  SATA  NASTAVE  MATEMATIKE

Organizacija sata nastave matematike ima dva dijela: vanjska (didaktičko usklađivanje vanjskih faktora – mjesto, oprema, sredstva i pomagala...) i unutarnja (organizacija tijeka obrazovanja, zbiva se u svijesti učenika i učitelja).

Najmanja vremenska jedinica organizacijskog rada je nastavni sat.

Vrijeme rada (nastavni sat) treba artikulirati, podijeliti na manje vremenske jedinice s točno određenom svrhom (etape sata).

Elementi sata nastave matematike koji se metodički oblikuju:

ü        cilj – nacrt što se nastavnim radom na satu želi postići: stjecanje znanja, razvijanje

              sposobnosti i osobnosti, određivanje opsega i dubine znanja

ü        etape nastavnog sata – kojim etapama će se postići proces učenja, način na koji će

                                            se postići, trajanje etapa i njihov međuodnos

ü        nastavne metode – biraju se prema sadržaju

ü        djelatnosti učitelja i učenika – praktične, izražajne, percepcija, misaone aktivnosti

ü        oblici nastavnog rada – frontalni, grupni, individualni

ü        nastavna sredstva i pomagala – svrha, način, vrijeme i redoslijed uporabe

Vrste sata: 

¨        sat obrađivanja i usvajanja novog gradiva

¨        sat vježbanja i ponavljanja

¨        sat provjeravanja znanja

Sat obrađivanja i usvajanja novog gradiva

                Obrađivanjem novog gradiva sadržaji se izlažu tako da učenici shvate i trajno usvoje činjenice, generalizacije i procese. Opseg sadržaja ovisi o karakteristici gradiva i intelektualnoj spremnosti učenika.

1)       pripremanje učenika za obradu i usvajanje novog gradiva

Ovaj dio sata obuhvaća spoznajni i psihološki aspekt. Učenik upoznaje ono što će se raditi, oslanja se na prethodno znanje. Načini: anegdota, praktično značenje, konkretne pojave, zagonetka, poslovica, problem, reproduciranje emisije, provjera domaćeg rada, zajedničko planoiranje sata

2)       obrađivanje i usvajanje novog gradiva

Učitelj iznosi sadržaj tako da učenici razumiju i da shvate generalizaciju koja se usvaja. Pažnju treba posvetiti objašnjavanju, između objašnjavanja i razumijevanja postoji uska funkcionalna povezanost. Objašnjavanje mora biti jasno, razgovjetno, koncizno, izvođeno određenim redoslijedom, korištenje više nastavnih metoda, aktivno sudjelovanje učenika, poštivanje zahtjeva govorne komunikacije.

Etapa obrađivanja mora završiti GENERALIZACIJOM (POOPĆAVANJE) – puno primjera, otkrivaju se elementi koji su u primjerima jednaki, generalizacija se govorno formulira.

3)       vježbanje i ponavljanje

Cilj je stjecanje i trajno usvajanje znanja. Svrha ponavljanja istog sadržaja jest da učenik te sadržaje usvoji. Vježbanjem se usvajaju postupci i radnje kako bi ih učenik što vještije izvodio. Pri kraju vježbanja i ponavljanja treba još jednom obratiti pozornost na generalizaciju.

4)       provjeravanje učinka sata

Želi se ustanoviti konačni efekt učenja na satu. Provjeravanja može biti pismeno i usmeno, a zadaci moraju biti jednaki onima koje su učenici rješavali tijekom vježbanja i ponavljanja.

Prosudba sata i slijedeći sat – nova obrada, dopunska objašnjenja, još vježbanja i

                                                ponavljanja, korektivni postupci

Sat vježbanja i ponavljanja

                Ostvarivanje funkcionalnih zadataka, vježbanje i ponavljanje izvode se zajedno.

Važan je misaoni angažman učenika, oponašanje rada učitelja, usporedba sa sličnom radnjom. Oblici ponavljana i vježbanja: fragmentarno (na pojedinim dijelovima sata), tematsko (nakon obrade nastavne jedinice ili cjeline), kompleksno (na početku i kraju godine).

Organizacija sata: - pripremanje učenika (što je cilj)

                              - vježbanje i ponavljanje (operacijski postupci, činjenice...)

                              - provjera učinka sata

Sat provjeravanja znanja

                Provjeravanje znanja, vještina i sposobnosti koje su učenici stekli u određenom razdoblju organizira se nakon određene cjeline.

Organizacija sata:

1.        priprema – materijalno-tehnička i psihološka; upoznavanje učenika s ciljem sata,

                        načinom ispitivanja i rješavanja zadataka

2.        rješavanje ispitnih zadataka – ograničeno vrijeme

3.        obrada i korištenje rezultata ispitivanja

PRIPREMA  UČITELJA  ZA  NASTAVNI  SAT

Þ      stručna (sadržajna) – opseg i dubina sadržaja

Þ      pedagoška (didaktičko-metodička) – način rada

Þ      organizacijska – sredstva i pomagala, mjesto rada

METODE  RADA:

?       demonstracija – pokazivanje svega onoga što je moguće perceptivno doživjeti

                                      - statički predmeti, dinamične pojave, aktivnosti

?       praktični rad – učenik izvodi konkretne radnje

?       crtanje – nastavni rad izražava se crtežom

                                  - grafički znakovi, geometrijski crtež, grafičko prikazivanje 

                            kvantitativnih odnosa (grafikon, dijagram), prikazivanje procesa

?       pisanje

?       čitanje – čitanje+mišljenje+izražavanje+promatranje+praktični rad

?       razgovor – dijalog između učenika i učitelja

                               - katehetički (kratko pitanje i odgovor), majeutika (alternativna 

                                 pitanja kojima se vodi do zaključka),  heuristički, slobodni

?       usmeno izlaganje – verbalno se izlaže nastavni sadržaj

              - pripovijedanje – iznošenje sadržaja

              - deskripcija – opisivanje vanjskih svojstava objekata ili pojava

              - obrazloženje – detaljnjije se upoznavaju određene konstatacije, zašto?

              - objašnjavanje – iznošenje apstrakcija (pojmovi, definicije), rezultat bi

                                           trebalo biti razumijevanje

TEKSTUALNI  ZADACI  U  NASTAVI  MATEMATIKE

      Matematički zadatak je skup određenih podataka stavljenih u određeni odnos. Taj skup sadrži podatke koji su poznati i koji su nepoznati. Iz oznatih podataka na temelju odnosa među podacima treba odrediti neku nepoznatu vrijednost.

Nazivi: zadaci riječima, tekstualni zadaci, računske priče

Dijelovi zadatka:

        I.      fabula (priča) – konkretni sadržaj koji povezuje određene podatke

      II.      kvantitativni podaci – realni, moraju odgovarati razrednom radijusu

   III.      matematičke radnje – određene (in)direktno

     IV.      pitanje (problem)

Osnovni problem je kako veličine izražene riječima izraziti matematičkim simbolima. Učenik će uspješno riješiti zadatak ako razumije zadatak, ako prirodni govor u kojem je zadatak sastavljen zna transformirati u matematički izraz, ako zna izvoditi matematičke operacije, ako zna odgovoriti u svakidašnjem jeziku i provjeriti pravilnost te ako je ustrajan.

Metodički postupak rješavanja tekstualnih zadataka:

1. priopćenje zadatka, 2. zapisivanje podataka,  3. ponavljanje sadržaja matematičkog zadatka,  4. analiziranje i sintetiziranje zadatka,  5. izrada plana, redoslijed izračunavanja veličina,  6. postavljanje matematičkog izraza, matematizacija stvarnosti,  7. procjenjivanje rezultata – razvoj osjećaja veličine, pouzdanost u dobiveni rezultat,  8.izračunavanje brojevnog izraza,  9. provjeravanje rezultata,  10. formuliranje odgovora,  11. definiranje matematičkih zakonitosti,  12. osvrt na rješavanje zadatka

MISAONE  RADNJE  U  NASTAVI  MATEMATIKE

                Matematikom se razvija mišljenje à misaono operiranje à misaone radnje (26)

(1)      analiziranje i sintetiziranje  - jedna misaona radnja, postoje dva procesa 

                                                        (raščlanjivanje i uspoređivanje, koreliranje)

(2)      zaključivanje – na temelju poznatih sudova izvodi se novi sud

         -1- indukcija: zaključivanje na temelju konačnog broja promatranih pojava

         -2- dedukcija: polazi se od općih istina, što vrijedi u općem slučaju vrijedi i u

                                 pojedinačnom

          -3- analogija: iz zapažanja da se dva predmeta podudaraju u određenim

                                 svojstvima ili odnosima izvodimo zaključak da se oni podudaraju i

                                 u drugim svojstvima ili odnosima koje nismo izravno opazili

(3) uspoređivanje -  u međusobni odnos se stavi više predmeta, utvrđuje se što je

                                  zajedničko, a što različito

                                - operacija poistovjećivanja (identifikacija) i razlikovanja 

                                  (diferencijacija)

NAČELA  METODIKE  NASTAVE  MATEMATIKE

²      primjerenost – optimalno opterećenje, nužan je napor

²      zornost – apstraktni sadržaji transformiraju se u  empirijske

²      vlastita aktivnost – intelektualne, verbalne, manuelne, grafičke

²      individualizacija – razlike u sposobnostima i predznanju

²      postupnost – hijerarhijski slijed gradiva

²      pravodobna pedagoška intervencija – ako učenik ne uspijeva pratiti nastavu

²      polazna pozicija – koristiti predznanje

²      konsolidacija – učvršćivanje starog

NEUSPJEH  U   NASTAVI  MATEMATIKE

uspjeh = napor + organizacija

Oblici neuspjeha: nedovoljno matematičko znanje, nedovoljna automatiziranost računskih operacija, neusvojenost svih oznaka u sadržaju matematičkih pojmova, formalističko matematičko znanje (usvaja se oblik, ali ne i sadržaj), nedovoljno razvijanje učenikovih matematičkih sposobnosti (mišljenje)

Obilježja neuspjeha:

o         kumulativnost – postupno i kontinuirano uvećanje neuspjeha

o         stabilnost – otpornost neuspjeha prema suzbijanju i eliminiranju

Dopunska nastava: identifikacija, dijagnoza, planiranje, realizacija, kontrola.

MATEMATIČKI  TALENT

Matematičko mišljenje je apstraktno, odvojeno od konkretnog i pojedinačnog.

Matematička sposobnost:

ò       numerička sposobnost

ò       sposobnost pamćenja i planiranja

ò       sposobnost prostornog predočavanja

ò       sposobnost logičkog zaključivanja i uočavanja veza

Znakovi matematičko-logičke nadarenosti: postavljanje svrhovitih pitanja, usamljenja aktivnost i sanjarenje, samostalno učenje, imitacija i identifikacija sa znanstvenicima, lako baratanje operacijama, pažnja vezana uz prirodu ili tehniku, razumijevanje i interes za uzroke i posljedice, samostalno istraživanje...

Osnovni princip razumijevanja nadarenosti jest osiguranje širenja i produbljivanja baze znanja, uz istodobno osiguranje elastične i kreativne uporabe baze znanja, a u atmosferi sigurnosti, prihvaćenosti i osjećaja neprestanog osobnog napretka.

ZADACI  NASTAVE  MATEMATIKE

Ä       razvijati kod učenika svijest o potrebi ovladavanja osnovnim matematičkim znanjem

Ä       upoznavanje s odnosima prostornih i brojevnih veličina, razvijati svijest o njihovom međusobnom povezivanju i pridruživanju

Ä       primjenjivati stečeno matematičko  znanje, planski pristupati problemima i ekonomično ih rješavati

Ä       razvijati sposobnost funkcionalnog mišljenja, pravilnog logičkog zaključivanja, uopćavanja, procjenjivanja i prostornog predočavanja

Ä       jasno i precizno matematičko izražavanje i računanje

Ä       urednost, preciznost, preglednost, ustrajnost, upornost