M A T E M
A T I K A
Matematika
– znanost o odnosima među
kvantitativnim količinama i prostornim
oblicima (grč. mathema –
nauka o veličinama)
- znanstvena disciplina nastala proučavanjem brojeva i geometrijskih
odnosa
- znanost o odnosima među veličinama i prostornim formama
Obilježja:
znanstvena egzaktnost, visoka apstraktnost, sadržaj
hijerarhijsko –
logičkog redoslijeda
Matematika nastaje kao rezultat praktičnog djelovanja (Sumerani,
Babilonci, Grci, Kinezi, Indijci, Arapi);
Ahmesova
računica, 1600 g.pr.Kr. (Egipat)
Metodika
matematike
– znanstvena disciplina o matematičkom odgajanju i
obrazovanju
na svim stupnjevima
školovanja
Obilježja
matematičkog odgoja i obrazovanja:
·
sustavno odgajanje i obrazovanje
·
izgrađivanje osnovnih matematičkih pojmova
·
sadržaji učenja su visoke apstrakcije (pojmovi)
·
ovisi
o stupnju i kvaliteti intelektualne razvijenosti učenika
·
visoki stupanj metodičkog oblikovanja matematičkih nastavnih
sadržaja (ovisnost intelektualne razvijenosti učenika i
apstraktnosti sadržaja)
Predmeti
proučavanja metodike matematike:
Ř
odgojna i obrazovna funkcija matematičkih sadržaja
Ř
proces matematičkog odgoja i obrazovanja (kako podučavati,
zašto, uspješnost...)
Ř
uloga
pojedinih faktora u nastavnom procesu (gradivo,
intelektualna razvijenost, aktivnost učenika...)
Ř
odnos
intelektualne razine učenika i prirode matematičkih sadržaja
Ř
nastavne metode i oblici rada
Ř
nastavna sredstva i pomagala (spoznajna uloga, način
korištenja, konkretizacija apstrakcija...)
Ř
organizacija nastavnog procesa
Ř
načela matematičkog odgoja i obrazovanja
Ř
praćenje, vrednovanje i ocjenjivanje učenika
Ř
psihološko utemeljenje matematičkog odgajanja i obrazovanja
NASTAVA
MATEMATIKE
– nastavni predmet u kojem se odgoj i obrazovanje ostvaruju
matematičkim sadržajima
Cilj i
zadaci:
1.
usvajanje matematičkog znanja za razumijevanje događaja u
prirodi i društvu
2.
osposobljavanje za nastavak školovanja i primjenu usvojenog
znanja u životu
3.
postupno savladavanje osnovnih elelmenata matematičkog
jezika, razvijanje sposobnosti izražavanja općih ideja
matematičkim jezikom, razvijanje pojmovnog i apstraktnog
mišljenja i logičkog zaključivanja
4.
usvajanje metoda matematičkog mišljenja koja se očituju u
preciznom formuliranju pojmova i algoritamskog rješavanja
problema
5.
razvijanje iskustva i potrebe za samostalni rad,
odgovornost, urednost...
PSIHOLOŠKE OSNOVE NASTAVE MATEMATIKE
Etape intelektualnog razvoja djeteta (Jean Piaget):
1)
stadij refleksa
– dijete živi na temelju naslijeđenih sklopova, instiktivnih
težnji
2)
stadij prvih
motoričkih navika i prvih organiziranih osjeta te prvih
diferencijalnih osjećaja
– neki svjesni oblici ponašanja, namjerno promatranje
3)
stadij
senzomotoričke (praktične) inteligencije
– do 2. godine,
dohvaćanje predmeta na temelju promatranja
(1) – (3) period
koji prethodi razvoju govora i mišljenja
4)
stadij intuitivne
inteligencije
(2.-7. god.) - javlja se GOVOR (riječi imau
pravo značenje), omogućava djetetu da svoje akcije zamijeni
riječima, a da ih stvarno ne izvrši (POČETAK LJUDSKOG
MIŠLJENJA). Dijete stalno nešto tvrdi, a ništa ne dokazuje.
Mišljenje je prelogičko – nedostatak logike
nadoknađuje se mehanizmom intuicije (tvrđenje bez
dokazivanja), za primarnu intuiciju karakteristično je da je
ireverzibilna.
5)
stadij konkretnih
intelektualnih operacija (7.-13. god.)
– dijete postupno
postaje sposobno za reverzibilno mišljenje
(sposobnost ljudskog uma da u mislima djelujemo u jednom
smjeru, ali i da se možemo vratiti na početak). Sposobnost
korištenja reverzibilnog mišljenja – poticanje stupnja
konkretno-operacionalnog mišljenja. Operacija
psihološki predstavlja akciju koja je interiorizirana i
reverzibilna.
6)
stadij
apstatraktnih intelektualnih operacija (>12 god.)
– operiranje na
temelju verbalno
formuliranih hipoteza (samo govorom dokazanih), nivo
hipoteičko -deduktivne operacije.
Subjetivne
pretpostavke za formiranje osnovnih matematičkih pojmova:
v
razlikovanje svojstva objekta od objekta
v
sposobnosti: - apstrahiranje – otkrivanje svojstava
predmeta i pojava
- generaliziranje – izdvajanje
zajedničkih svojstava
U izgradnji pojmova
najvažnije je uočavanje zajedničkih svojstava – razlikovanje
bitnog i nebitnog svojstva.
v
sposobnost uočavanja invarijantnosti svojstava veličina i
objekata (bit pojma je ono svojstvo koje u procesu raznih
transformacija i mijenjanja ostaje nepromijenjeno)
Proces formiranja misaonih operacija:
1)
materijalno izvođenje radnje
– omogućiti učeniku da percepcijom shvati osnovni
sadržaj radnje
2)
govorno izvođenje radnje
– omogućuje ispravno shvaćanje samih riječi koji su
osnova misaonih
radnji
3)
prenošenje radnji na misaono područje
– interiorizacija (transformacija vanjske
radnje
u unutrašnju)
Predznanje
je skup prethodno i trajno usvojenih spoznaja o matematičkim
pojavama i objektima koje su uporište učenju i mišljenju.
-1- identičnost: svojstvo da preznanje ima neke zajedničke
elemente s novim znanjem
-2- adekvatnost: ispravnost i potpunost predznanja
METODIČKO
OBLIKOVANJE SATA NASTAVE MATEMATIKE
Organizacija sata nastave
matematike ima dva dijela:
vanjska
(didaktičko usklađivanje vanjskih faktora – mjesto, oprema,
sredstva i pomagala...) i
unutarnja
(organizacija tijeka obrazovanja, zbiva se u svijesti
učenika i učitelja).
Najmanja vremenska jedinica
organizacijskog rada je nastavni sat.
Vrijeme rada (nastavni sat) treba artikulirati, podijeliti na manje
vremenske jedinice s točno određenom svrhom (etape sata).
Elementi sata nastave matematike koji se metodički
oblikuju:
ü
cilj
– nacrt što se nastavnim radom na satu želi postići:
stjecanje znanja, razvijanje
sposobnosti i osobnosti, određivanje opsega i dubine
znanja
ü
etape nastavnog
sata
– kojim etapama će se postići proces učenja, način na koji
će
se postići,
trajanje etapa i njihov međuodnos
ü
nastavne metode
– biraju se prema sadržaju
ü
djelatnosti
učitelja i učenika
– praktične,
izražajne, percepcija, misaone aktivnosti
ü
oblici nastavnog
rada
– frontalni,
grupni, individualni
ü
nastavna sredstva i
pomagala
– svrha, način,
vrijeme i redoslijed uporabe
Vrste sata:
¨
sat
obrađivanja i usvajanja novog gradiva
¨
sat
vježbanja i ponavljanja
¨
sat
provjeravanja znanja
Sat obrađivanja i usvajanja novog gradiva
Obrađivanjem novog gradiva sadržaji se izlažu tako
da učenici shvate i trajno usvoje činjenice, generalizacije
i procese. Opseg sadržaja ovisi o karakteristici gradiva i
intelektualnoj spremnosti učenika.
1)
pripremanje učenika za obradu i usvajanje novog
gradiva
Ovaj dio sata obuhvaća spoznajni i psihološki aspekt. Učenik
upoznaje ono što će se raditi, oslanja se na prethodno
znanje. Načini: anegdota, praktično značenje, konkretne
pojave, zagonetka, poslovica, problem, reproduciranje
emisije, provjera domaćeg rada, zajedničko planoiranje sata
2)
obrađivanje i usvajanje novog gradiva
Učitelj iznosi sadržaj tako da učenici razumiju i da shvate
generalizaciju koja se usvaja. Pažnju treba posvetiti
objašnjavanju, između objašnjavanja i razumijevanja postoji
uska funkcionalna povezanost. Objašnjavanje mora biti jasno,
razgovjetno, koncizno, izvođeno određenim redoslijedom,
korištenje više nastavnih metoda, aktivno sudjelovanje
učenika, poštivanje zahtjeva govorne komunikacije.
Etapa obrađivanja mora završiti GENERALIZACIJOM (POOPĆAVANJE) – puno
primjera, otkrivaju se elementi koji su u primjerima
jednaki, generalizacija se govorno formulira.
3)
vježbanje i ponavljanje
Cilj je stjecanje i trajno usvajanje znanja. Svrha ponavljanja istog
sadržaja jest da učenik te sadržaje usvoji. Vježbanjem se
usvajaju postupci i radnje kako bi ih učenik što vještije
izvodio. Pri kraju vježbanja i ponavljanja treba još jednom
obratiti pozornost na generalizaciju.
4)
provjeravanje učinka sata
Želi se ustanoviti konačni efekt učenja na satu. Provjeravanja može
biti pismeno i usmeno, a zadaci moraju biti jednaki onima
koje su učenici rješavali tijekom vježbanja i ponavljanja.
Prosudba sata i slijedeći sat – nova obrada, dopunska objašnjenja,
još vježbanja i
ponavljanja,
korektivni postupci
Sat
vježbanja
i ponavljanja
Ostvarivanje funkcionalnih zadataka, vježbanje i
ponavljanje izvode se zajedno.
Važan je misaoni angažman učenika, oponašanje rada učitelja,
usporedba sa sličnom radnjom. Oblici ponavljana i vježbanja:
fragmentarno (na pojedinim dijelovima sata),
tematsko (nakon obrade nastavne jedinice ili cjeline),
kompleksno (na početku i kraju godine).
Organizacija sata:
- pripremanje učenika (što je cilj)
- vježbanje i ponavljanje
(operacijski postupci, činjenice...)
- provjera učinka sata
Sat
provjeravanja
znanja
Provjeravanje znanja, vještina i sposobnosti koje su
učenici stekli u određenom razdoblju organizira se nakon
određene cjeline.
Organizacija sata:
1.
priprema – materijalno-tehnička i psihološka; upoznavanje učenika s
ciljem sata,
načinom ispitivanja
i rješavanja zadataka
2.
rješavanje ispitnih zadataka
– ograničeno vrijeme
3.
obrada i korištenje rezultata ispitivanja
PRIPREMA
UČITELJA ZA NASTAVNI SAT
Ţ
stručna (sadržajna)
– opseg i dubina sadržaja
Ţ
pedagoška (didaktičko-metodička)
– način rada
Ţ
organizacijska
– sredstva i pomagala, mjesto rada
METODE RADA:
?
demonstracija – pokazivanje svega onoga što je moguće perceptivno doživjeti
- statički predmeti, dinamične
pojave, aktivnosti
?
praktični rad – učenik izvodi konkretne radnje
?
crtanje – nastavni rad izražava se crtežom
- grafički znakovi,
geometrijski crtež, grafičko prikazivanje
kvantitativnih odnosa (grafikon,
dijagram), prikazivanje procesa
?
pisanje
?
čitanje – čitanje+mišljenje+izražavanje+promatranje+praktični rad
?
razgovor – dijalog između učenika i učitelja
- katehetički (kratko
pitanje i odgovor), majeutika (alternativna
pitanja kojima se vodi do
zaključka), heuristički,
slobodni
?
usmeno izlaganje – verbalno se izlaže nastavni sadržaj
-
pripovijedanje – iznošenje sadržaja
-
deskripcija – opisivanje vanjskih svojstava objekata ili
pojava
-
obrazloženje – detaljnjije se upoznavaju određene
konstatacije, zašto?
-
objašnjavanje – iznošenje apstrakcija (pojmovi, definicije),
rezultat bi
trebalo biti
razumijevanje
TEKSTUALNI
ZADACI U NASTAVI MATEMATIKE
Matematički zadatak je skup određenih podataka
stavljenih u određeni odnos. Taj skup sadrži podatke koji su
poznati i koji su nepoznati. Iz oznatih podataka na temelju
odnosa među podacima treba odrediti neku nepoznatu
vrijednost.
Nazivi: zadaci
riječima, tekstualni zadaci, računske priče
Dijelovi
zadatka:
I.
fabula (priča)
– konkretni sadržaj koji povezuje određene podatke
II.
kvantitativni podaci
– realni, moraju
odgovarati razrednom radijusu
III.
matematičke radnje
– određene
(in)direktno
IV.
pitanje (problem)
Osnovni problem je
kako veličine izražene riječima izraziti matematičkim
simbolima. Učenik će uspješno riješiti zadatak ako razumije
zadatak, ako prirodni govor u kojem je zadatak sastavljen
zna transformirati u matematički izraz, ako zna izvoditi
matematičke operacije, ako zna odgovoriti u svakidašnjem
jeziku i provjeriti pravilnost te ako je ustrajan.
Metodički
postupak rješavanja tekstualnih zadataka:
1. priopćenje zadatka, 2. zapisivanje podataka, 3. ponavljanje
sadržaja matematičkog zadatka, 4. analiziranje i
sintetiziranje zadatka, 5. izrada plana, redoslijed
izračunavanja veličina, 6. postavljanje matematičkog
izraza, matematizacija stvarnosti, 7. procjenjivanje
rezultata – razvoj osjećaja veličine, pouzdanost u dobiveni
rezultat, 8.izračunavanje brojevnog izraza, 9.
provjeravanje rezultata, 10. formuliranje odgovora, 11.
definiranje matematičkih zakonitosti, 12. osvrt na
rješavanje zadatka
MISAONE RADNJE U NASTAVI MATEMATIKE
Matematikom se razvija mišljenje
ŕ misaono
operiranje
ŕ misaone
radnje (26)
(1)
analiziranje i sintetiziranje
- jedna misaona radnja, postoje dva procesa
(raščlanjivanje i uspoređivanje, koreliranje)
(2)
zaključivanje
– na temelju poznatih sudova izvodi se novi sud
-1- indukcija: zaključivanje na temelju konačnog broja
promatranih pojava
-2- dedukcija: polazi se od općih istina, što
vrijedi u općem slučaju vrijedi i u
pojedinačnom
-3- analogija: iz zapažanja da se dva predmeta
podudaraju u određenim
svojstvima ili odnosima izvodimo
zaključak da se oni podudaraju i
u drugim svojstvima ili odnosima
koje nismo izravno opazili
(3)
uspoređivanje - u međusobni odnos se stavi više
predmeta, utvrđuje se što je
zajedničko, a što različito
- operacija poistovjećivanja
(identifikacija) i razlikovanja
(diferencijacija)
NAČELA METODIKE NASTAVE MATEMATIKE
˛
primjerenost
– optimalno opterećenje, nužan je napor
˛
zornost
– apstraktni sadržaji transformiraju se u empirijske
˛
vlastita aktivnost
– intelektualne, verbalne, manuelne, grafičke
˛
individualizacija
– razlike u sposobnostima i predznanju
˛
postupnost
– hijerarhijski slijed gradiva
˛
pravodobna pedagoška intervencija
– ako učenik ne uspijeva pratiti nastavu
˛
polazna
pozicija – koristiti predznanje
˛
konsolidacija
– učvršćivanje starog
NEUSPJEH U NASTAVI MATEMATIKE
uspjeh = napor +
organizacija
Oblici
neuspjeha:
nedovoljno matematičko znanje, nedovoljna automatiziranost
računskih operacija, neusvojenost svih oznaka u sadržaju
matematičkih pojmova, formalističko matematičko znanje
(usvaja se oblik, ali ne i sadržaj), nedovoljno razvijanje
učenikovih matematičkih sposobnosti (mišljenje)
Obilježja
neuspjeha:
o
kumulativnost
– postupno i kontinuirano uvećanje neuspjeha
o
stabilnost – otpornost neuspjeha prema suzbijanju i eliminiranju
Stručna
sprema nastavnika kao uzrok neuspjeha: nedovoljno matematičko znanje, nedovoljno metodičko obrazovanje,
loše priprave za sat.
Kvaliteta
nastave matematike kao uzrok neuspjeha: nedostatak individualizacije, prevlast frontalnog rada, slaba
organizacija sata, nedostatak potkrepe učenikovih
matematičkih aktivnosti.
Dopunska nastava:
identifikacija, dijagnoza, planiranje, realizacija,
kontrola.
MATEMATIČKI TALENT
Matematičko
mišljenje je apstraktno, odvojeno od konkretnog i
pojedinačnog.
Matematička sposobnost:
ň
numerička sposobnost
ň
sposobnost pamćenja i planiranja
ň
sposobnost prostornog predočavanja
ň
sposobnost logičkog zaključivanja i uočavanja veza
Znakovi
matematičko-logičke nadarenosti:
postavljanje svrhovitih pitanja, usamljenja aktivnost i
sanjarenje, samostalno učenje, imitacija i identifikacija sa
znanstvenicima, lako baratanje operacijama, pažnja vezana uz
prirodu ili tehniku, razumijevanje i interes za uzroke i
posljedice, samostalno istraživanje...
Osnovni princip
razumijevanja nadarenosti jest osiguranje širenja i
produbljivanja baze znanja, uz istodobno osiguranje
elastične i kreativne uporabe baze znanja, a u atmosferi
sigurnosti, prihvaćenosti i osjećaja neprestanog osobnog
napretka.
ZADACI NASTAVE MATEMATIKE
Ä
razvijati kod učenika svijest o potrebi ovladavanja osnovnim
matematičkim znanjem
Ä
upoznavanje s odnosima prostornih i brojevnih veličina,
razvijati svijest o njihovom međusobnom povezivanju i
pridruživanju
Ä
primjenjivati stečeno matematičko znanje, planski
pristupati problemima i ekonomično ih rješavati
Ä
razvijati sposobnost funkcionalnog mišljenja, pravilnog
logičkog zaključivanja, uopćavanja, procjenjivanja i
prostornog predočavanja
Ä
jasno
i precizno matematičko izražavanje i računanje
Ä
urednost, preciznost, preglednost, ustrajnost, upornost